Regeln der Bruchrechnung
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Teilbarkeitsregeln
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Teilbarkeit:
35 : 5 = 7.
5 ist Teiler von 35. 7
ist Teiler von 35.
3 ist kein Teiler von 35, weil beim Teilen ein Rest
bleibt.
Teilbarkeit durch 2, 5 und 10:
2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre
letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8
ist!
5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre
letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist!
10: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre
letzte Ziffer eine 0 ist!
Teilbarkeit durch 4 und 25:
4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die
beiden letzten Ziffern Nullen sind, oder
eine durch vier teilbare Zahl bilden!
25: Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die
beiden letzten Ziffern 25, 50, 75 oder 00
lauten!
Teilbarkeit durch 8:
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch
8 teilbar sind!
Sind die letzten drei Ziffern 000, so ist die Zahl ebenfalls durch
8 teilbar!
Teilbarkeit durch 3 und 9:
3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre
Quersumme durch 3 teilbar ist!
9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre
Quersumme durch 9 teilbar ist!
Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern:
Quersumme von 198 ist 9, weil 1+9+8 = 18 und 1+8 = 9
Teilbarkeit durch 6:
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3
teilbar ist
Teilbarkeit durch 12:
Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und 4
teilbar ist!
Teilbarkeit durch 15:
Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und 5
teilbar ist!
Teilbarkeit durch 18:
Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und 9
teilbar ist!
Allgemein:
Eine Zahl ist durch das Produkt
zweier Faktoren teilbar, wenn sie durch beide Faktoren teilbar
ist und die Faktoren teilerfremd sind.
Teilbarkeit von Summen:
Wenn man beide Summanden einer Summe durch dieselbe Zahl teilen
kann, kann man auch die Summe durch diese Zahl teilen.
Beispiel:
91 ist durch 7 teilbar!
91 : 7 = 70 : 7 + 21 : 7 = 10 + 3 = 13
Teilbarkeit von Produkten:
Wenn man in einem Produkt einen Faktor durch eine Zahl
teilen kann, kann man auch das Produkt durch diese Zahl
teilen.
Beispiel:
81 · 32 ist durch 9 teilbar!
81 · 32 = 9 · 9 · 32
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ggT (größter
gemeinsamer Teiler)
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Die Teilermenge:
Alle Teiler einer Zahl bilden ihre Teilermenge. Es gibt immer
endlich viele Teiler einer Zahl.
Beispiel:
T100 = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}
Gemeinsame Teiler:
Zahlen, die in Teilermengen verschiedener Zahlen enthalten
sind, bezeichnet man als
gemeinsame Teiler (gT)!
Beispiel:
T50 = {1, 2, 5, 10, 25, 50}
T120 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 40, 60, 120}
gT(50,120) = {1, 2, 5, 10, 25}
Größter gemeinsamer Teiler -
ggT:
Die größte Zahl, die zwei Teilermengen gemeinsam haben,
bezeichnet man als größten gemeinsamen
Teiler - ggT.
ggT(50,120) = 25
Primzahlen:
Primzahlen sind natürliche Zahlen, die genau zwei
Teiler haben. Sie sind nur durch 1 und sich selbst
teilbar.
Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
1 ist keine Primzahl!
Primfaktorzerlegung:
Jede natürliche Zahl lässt sich in Primfaktoren
zerlegen:
Beispiel:
24 = 2³ · 3
40 = 2³ · 5
140 = 2² · 5 · 7
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kgV (kleinstes
gemeinsames Vielfaches)
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Das Vielfache einer Zahl:
42 = 6 · 7
42 ist Vielfaches von 7.
42 ist Vielfaches von 6.
42 ist kein Vielfaches von 8
Die Vielfachmenge:
Alle Vielfachen einer Zahl bilden ihre Vielfachmenge. Es gibt
unendlich viele Vielfache einer Zahl. Daher werden am Ende immer
drei Punkte geschrieben.
Vielfachmenge von 2:
V2 = {2, 4, 6, 8, 10,
12, 14, 16, 18,
20, 24, ...}
Vielfachmenge von 3:
V3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...}
Gemeinsame Vielfache:
Die gemeinsamen Vielfachen der Zahlen 2 und 3 sind die Zahlen 6, 12, 18, 24, ...
Es gibt unendlich viele gemeinsame Vielfache.
Das Kleinste gemeinsame Vielfache - kgV:
Für viele Rechnungen in der Bruchrechnung spielt das
kleinste gemeinsame Vielfache - kgV
eine wichtige Rolle.
kgV(2,3) = 6;
kgV(6,8) = 24, u.s.w.
Tipp:
Es ist häufig nicht einfach, das kgV von zwei
großen Zahlen oder mehreren Zahlen zu bestimmen, z. B. kgV(24,40) oder kgV(12,40,126).
In diesen Fällen ist die Primfaktorzerlegung hilfreich. Man
muss dabei die höchste Potenz aller auftretenden Primfaktoren
multiplizieren.
Beispiel:
12 = 2² · 3
40 = 2³ · 5 126 = 2 · 3²
· 7
kgV(12,40,126) = 2³ · 3² · 5 · 7= 2520
Dieses Verfahren ist sehr zeitaufwändig. Um das kgV zweier
Zahlen zu bestimmen ist folgender "Trick" sehr praktikabel:
Bestimme das kgV mit Hilfe des ggT der beiden
Zahlen.
Beispiel:
kgV(24,40) = ?
1. Bestimme den ggT der beiden Zahlen
ggT(24,40) = 8
2. Dividiere eine der beiden Zahlen durch den
ggT:
24 : 8 = 3
oder 40 : 8 = 5
3. Multipliziere die zweite Zahl mit dem
Ergebnis:
40 ·
3 = 120.
oder
24 · 5 = 120
Ergebnis: kgV(24,40) = 120
Es gilt: ggT(24,40) · kgV(24,40) = 24 · 40
8
·
120
= 960
Allgemein: ggT(a,b) · kgV(a,b)
= Produkt(a,b)
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Brüche
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In der Mathematik bezeichnet man das Ganze mit
1. Um Teile eines Ganzen angeben zu können, verwendet man
Brüche.
Ein Bruch besteht aus Zähler, Bruchstrich und
Nenner:
Andere Schreibweise: 4/7
Der Nenner gibt an, in wie viele
Teile ein Ganzes zerlegt wird.
Der Zähler gibt an, wie viele
Teile ausgewählt werden.
Zerlegt man ein Ganzes in 2, 3, 4, 5, ..., 10 gleich große
Teile, so heißt ein solcher Teil ein Halbes, ein
Drittel, ein Viertel, ein Fünftel, ... ein Zehntel. Man
schreibt:
In gedruckten Texten verwendet man aus Platzgründen auch
häufig folgende Schreibweise:
1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... 1/10
Darstellung:
Kreisdiagramm:
Schaubild:
Z. B.:
6/20 der Gummibärchen sind rot
2/20 der Gummibärchen sind
gelb
5/20 der Gummibärchen sind
grün
Zahlenstrahl:
Brüche können am Zahlenstrahl dargestellt werden. Echte
Brüche liegen zwischen 0 und 1. Es gibt unendlich viele
Brüche zwischen 0 und 1. Der Zahlenstrahl im Beispiel ist von
0 bis 1 in 6 gleiche Teile eingeteilt. Jede Teilstrecke ist
1/6. Beim dritten Teilstrich liegt also der Bruch A = 3/6
Beispiel:
Die kleinere Bruchzahl liegt auf dem Zahlenstrahl immer links von
einer größeren.
Begriffe:
Echter Bruch - Der Zähler ist kleiner als der Nenner.
Unechter Bruch - Der Zähler ist größer als
der Nenner.
Unechte Brüche kann man in gemische Zahlen umwandeln und
umgekehrt.
Uneigentlicher Bruch - Der Zähler ist ein
Vielfaches des Nenners.
Es handelt sich eigentlich um natürliche Zahlen.
Gemischte Zahl - Eine gemischte Zahl besteht aus einer
ganzen Zahl und einem Bruch.
Zwischen ihnen muss man sich ein +
denken!
Gemische Zahlen kann man in unechte Brüche umwandeln und
umgekehrt:
Brüche mit dem Zähler 1 heißen
Stammbrüche:
Brüche mit gleichen Nennern heißen gleichnamige
Brüche:
Brüche mit ungleichen Nennern heißen ungleichnamige
Brüche:
Werden Zähler und Nenner vertauscht, bildet man den
Kehrwert eines Bruches:
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Bruchteile
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Der Nenner eines Bruches gibt an, in wie viele
gleich große Teile das Ganze eingeteilt ist.
Der Zähler gibt an, wie viele Teile genommen werden
(zählt die Teile).
Beispiel 1:
3 Äpfel von 18 Äpfeln sind verdorben.
D. h. der Äpfel sind verdorben.
Beispiel 2:
4 Kästchen von 21 Kästchen sind rot gefärbt.
D. h. der Kästchen sind rot.
Bruchteile von Größen:
Beispiel 1:
von 32 cm = 12 cm.
Rechnung in zwei Schritten:
1. Dividiere durch den Nenner:
32 cm : 8 = 4 cm
2. Multipliziere mit dem Zähler:
4 cm · 3 = 12 cm
Beispiel 2:
kg = 750 g
Rechnung:
von 1 kg = von 1000g = 750 g
1000 g : 4 = 250 g
250 g · 3 = 750 g
Das Ganze berechnen:
Um das Ganze zu berechnen musst du die Umkehrrechnungen
durchführen:
Beispiel:
von x € = 90 €
Rechnung:
1. Dividiere durch den Zähler:
90 € : 3 =
30 €
2. Multipliziere mit dem Nenner:
30 € · 4 = 120 €
Das Ganze beträgt 120 €
Probe:
von 120 € = 90 €
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Kürzen und
Erweitern
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Kürzen:
Man kürzt einen Bruch, indem man Zähler und Nenner durch
dieselbe Zahl (die Kürzungszahl) dividiert.
Beim vollständigen Kürzen teilt man durch den ggT von
Zähler und Nenner!
Oder man kürzt schrittweise so lange, bis Zähler und
Nenner teilerfremd sind (ggT(Z,N)= 1).
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Erweitern
Man erweitert einen Bruch, indem man Zähler und Nenner mit
derselben Zahl, der Erweiterungszahl, multipliziert.
Hauptnenner:
Man erweitert zwei oder mehrere Brüche, so dass sie den
kleinsten gemeinsamen Nenner haben (kgV der Nenner ist der
Hauptnenner).
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Rechnen
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Addieren (subtrahieren) von
Brüchen:
Gleichnamige Brüche werden addiert (subtrahiert), indem
man ihre Zähler addiert (subtrahiert). Das Ergebnis wird
gekürzt und wenn möglich als gemischte Zahl geschrieben.
Ungleichnamige Brüche:
1. Bestimme den Hauptnenner (kgV).
2. Erweitere beide Brüche auf den gemeinsamen
Nenner (Hauptnenner).
3. Addiere (subtrahiere) die Zähler der
erweiterten Brüche.
4. Behalte den gemeinsamen Hauptnenner bei.
5. Kürze das Ergebnis so weit wie möglich.
Tipp:
So findest du den Hauptnenner (kgV):
1. Bestimme den ggT der beiden Nenner.
2. Dividiere einen Nenner durch den ggT.
3. Multipliziere das Ergebnis mit dem anderen
Nenner.
oder
1. Multipliziere die beiden Nenner.
2. Dividiere das Produkt durch den ggT der
beiden Nenner.
Multiplikation mit einer natürlichen
Zahl:
Man multipliziert einen Bruch mit einer natürlichen Zahl,
indem man den Zähler mit der Zahl multipliziert.
Der Nenner (unten!) bleibt unverändert.
Multiplikation mit einem Bruch:
Man multipliziert einen Bruch mit einem Bruch, indem man den
Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner
multipliziert.
Division durch eine natürliche
Zahl:
Man dividiert einen Bruch durch eine natürliche Zahl, indem
man den Nenner mit der natürlichen Zahl
multipliziert. Der Zähler bleibt unverändert.
Wenn die Division ohne Rest möglich ist, kann der
Zähler durch die natürliche Zahl geteilt
werden.
Division durch einen Bruch:
Man dividiert einen Bruch durch einen Bruch, indem man den ersten
Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches
multipliziert.
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Dezimalbrüche
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Brüche deren Nenner eine 10er-Potenz ist
können als Dezimalbrüche (Kommazahlen) geschrieben
werden:
Die
Dezimalstellentafel wird nach rechts erweitert. Zwischen Einern
und Zehntel wird ein Komma gesetzt. Die Ziffern rechts vom Komma
heißen Dezimale. Die erste Dezimale rechts vom Komma heißt Zehntel,
die zweite Dezimale Hundertstel, die dritte Dezimale Tausendstel
usw. 2,173= 2 E
+ 1/10 + 7/100 + 3/1000
Umwandeln von Brüchen:
Jeder Bruch kann in einen Dezimalbruch
verwandelt werden:
Durch Erweitern oder Kürzen:
1/4 =
25/100 = 0,25 3/8 = 375/1000 = 0,375 9/12 = 3/4 = 75/100 =
0,75 usw.
Durch Dividieren:
Der Bruchstrich hat die Bedeutung eines
Divisionszeichens und man dividiert den Zähler durch den
Nenner:
Prozentschreibweise:
Prozent
bedeutet pro Hundert.
1 % = 1/100 = 0,01 17 % = 17/100
= 0,17 78 % = 78/100 = 0,78 0,5 % = 0,5/100 = 5/1000 = 0,005
umgekehrt:
0,8
= 8/10 = 80/100 = 80 % 0,06 = 6/100 = 6 % 0,003 = 3/1000 =
0,3/100 = 0,3 %
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Rechnen mit Dezimalbrüchen
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Addieren und Subtrahieren:
Dezimalbrüche
werden wie natürliche Zahlen addiert (subtrahiert). Dabei muss Komma
unter Komma stehen.
Beispiel:
572,098
+ 3,501 +
0,43 ------------ 576,029
Multiplizieren mit 10er-Potenzen:
Man
multipliziert Dezimalbrüche mit 10, 100, 1000,
..., indem man das Komma um 1, 2,
3, ... Stellen nach rechts
verschiebt
Beispiel:
3,0786 · 100 = 307,86 5,67 · 1000
= 5,6700 · 1000 = 5670,0 = 5670
Dividieren durch 10er-Potenzen:
Man
dividiert Dezimalbrüche durch 10, 100,
1000, ..., indem man das Komma um 1, 2,
3, ... Stellen nach links verschiebt
Beispiel:
3075,6 : 100
= 30,756 9,67 : 1000 = 0009,67 : 1000 = 0,00967
Multiplizieren:
Man multipliziert
Dezimalbrüche zunächst wie natürliche Zahlen. Im Ergebnis trennt
man mit dem Komma dann so viele Dezimalen ab, wie die Faktoren zusammen
haben.
Beispiel:
0,007 · 0,03 = 0,00021 (7/1000 · 3/100 = 21/100000)
Dividieren durch eine natürliche Zahl:
Man
dividiert einen Dezimalbruch durch eine natürliche Zahl, indem man
die Zahlen wie natürliche Zahlen dividiert. Sobald während der Rechnung
das Komma überschritten wird, setzt man es auch im Ergebnis.
Beispiel:
14,94
: 6 = 2,49 Überprüfe dein Ergebnis zur Sicherheit mit einer Überschlagsrechnung!
Dividieren durch einen Dezimalbruch:
Man
dividiert einen Dezimalbruch durch einen Dezimalbruch, indem man
das Komma in beiden Zahlen so viele Stellen nach rechts verschiebt
(erweitert), dass man durch eine natürliche Zahl dividiert.,
Beispiel:
5,512
: 1,04 = 551,2 : 104 = (Erweitert mit 100)
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