Regeln der Bruchrechnung

 

Teilbarkeitsregeln

 

 

Teilbarkeit:

35 : 5 = 7.

5 ist Teiler von 35.       7 ist Teiler von 35.
3 ist kein Teiler von 35, weil beim Teilen ein Rest bleibt.

Teilbarkeit durch 2, 5 und 10:

2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre     letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist!

5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre     letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist!

10: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre     letzte Ziffer eine 0 ist!

Teilbarkeit durch 4 und 25:

4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die     beiden letzten Ziffern Nullen sind, oder eine     durch vier teilbare Zahl bilden!

25: Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die     beiden letzten Ziffern 25, 50, 75 oder 00     lauten!

Teilbarkeit durch 8:

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind!
Sind die letzten drei Ziffern 000, so ist die Zahl ebenfalls durch 8 teilbar!

Teilbarkeit durch 3 und 9:

3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre     Quersumme durch 3 teilbar ist!

9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre     Quersumme durch 9 teilbar ist!

Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern:
Quersumme von 198 ist 9, weil 1+9+8 = 18 und 1+8 = 9

Teilbarkeit durch 6:

Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist

Teilbarkeit durch 12:

Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und 4 teilbar ist!

Teilbarkeit durch 15:

Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und 5 teilbar ist!

Teilbarkeit durch 18:

Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und 9 teilbar ist!

Allgemein:

Eine Zahl ist durch das Produkt zweier Faktoren teilbar, wenn sie durch beide Faktoren teilbar ist und die Faktoren teilerfremd sind.

Teilbarkeit von Summen:

Wenn man beide Summanden einer Summe durch dieselbe Zahl teilen kann, kann man auch die Summe durch diese Zahl teilen.
Beispiel:
91 ist durch 7 teilbar!
91 : 7 = 70 : 7 + 21 : 7 = 10 + 3 = 13

Teilbarkeit von Produkten:

Wenn man in einem Produkt einen Faktor durch eine Zahl teilen kann, kann man auch das Produkt durch diese Zahl teilen.
Beispiel:
81 · 32 ist durch 9 teilbar!
81 · 32 = 9 · 9 · 32

 

ggT (größter gemeinsamer Teiler)

 

 

Die Teilermenge:

Alle Teiler einer Zahl bilden ihre Teilermenge. Es gibt immer endlich viele Teiler einer Zahl.

Beispiel:

T100 = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}

Gemeinsame Teiler:

Zahlen, die in Teilermengen verschiedener Zahlen enthalten sind, bezeichnet man als
gemeinsame Teiler (gT)!

Beispiel:
T50 = {1, 2, 5, 10, 25, 50}
T120 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 40, 60, 120}

gT(50,120) = {1, 2, 5, 10, 25}

Größter gemeinsamer Teiler - ggT:

Die größte Zahl, die zwei Teilermengen gemeinsam haben, bezeichnet man als größten gemeinsamen Teiler - ggT.
ggT(50,120) = 25

Primzahlen:

Primzahlen sind natürliche Zahlen, die genau zwei Teiler haben. Sie sind nur durch 1 und sich selbst teilbar.

Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

Es gibt unendlich viele Primzahlen.
1 ist keine Primzahl!

Primfaktorzerlegung:

Jede natürliche Zahl lässt sich in Primfaktoren zerlegen:

Beispiel:

24 = 2³ · 3
40 = 2³      · 5
140 = 2²     · 5 · 7

 

kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)

 

 

Das Vielfache einer Zahl:

42 = 6 · 7
42 ist Vielfaches von 7.
42 ist Vielfaches von 6.
42 ist kein Vielfaches von 8

Die Vielfachmenge:

Alle Vielfachen einer Zahl bilden ihre Vielfachmenge. Es gibt unendlich viele Vielfache einer Zahl. Daher werden am Ende immer drei Punkte geschrieben.

Vielfachmenge von 2:
V2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 24, ...}
Vielfachmenge von 3:
V3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...}

Gemeinsame Vielfache:

Die gemeinsamen Vielfachen der Zahlen 2 und 3 sind die Zahlen 6, 12, 18, 24, ...
Es gibt unendlich viele gemeinsame Vielfache.

Das Kleinste gemeinsame Vielfache - kgV:

Für viele Rechnungen in der Bruchrechnung spielt das kleinste gemeinsame Vielfache - kgV eine wichtige Rolle.
kgV(2,3) = 6;
kgV(6,8) = 24, u.s.w.

Tipp:
Es ist häufig nicht einfach, das kgV von zwei großen Zahlen oder mehreren Zahlen zu bestimmen, z. B. kgV(24,40) oder kgV(12,40,126).
In diesen Fällen ist die Primfaktorzerlegung hilfreich. Man muss dabei die höchste Potenz aller auftretenden Primfaktoren multiplizieren.

Beispiel:

12    = 2² · 3
40   = 2³       · 5
126 = 2    · 3²       · 7

kgV(12,40,126) = 2³ · 3² · 5 · 7= 2520

Dieses Verfahren ist sehr zeitaufwändig.
Um das kgV zweier Zahlen zu bestimmen ist folgender "Trick" sehr praktikabel:

Bestimme das kgV mit Hilfe des ggT der beiden Zahlen.

Beispiel:

kgV(24,40) = ?

1. Bestimme den ggT der beiden Zahlen
    ggT(24,40) = 8

2. Dividiere eine der beiden Zahlen durch den     ggT:
    24 : 8 = 3                    oder 40 : 8 = 5

3. Multipliziere die zweite Zahl mit dem     Ergebnis:
    40 · 3 = 120.              oder  24 · 5 = 120

Ergebnis: kgV(24,40) = 120

Es gilt: ggT(24,40) · kgV(24,40) = 24 · 40
                  8         ·        120     =    960

Allgemein: ggT(a,b) · kgV(a,b) = Produkt(a,b)
 

 

Brüche

 

 

In der Mathematik bezeichnet man das Ganze mit 1. Um Teile eines Ganzen angeben zu können, verwendet man Brüche.

Ein Bruch besteht aus Zähler, Bruchstrich und Nenner: 


Andere Schreibweise: 4/7

Der Nenner gibt an, in wie viele Teile ein Ganzes zerlegt wird.
Der Zähler gibt an, wie viele Teile ausgewählt werden.

Zerlegt man ein Ganzes in 2, 3, 4, 5, ..., 10 gleich große Teile, so heißt ein solcher Teil ein Halbes, ein Drittel, ein Viertel, ein Fünftel, ... ein Zehntel. Man schreibt:


In gedruckten Texten verwendet man aus Platzgründen auch häufig folgende Schreibweise:
1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... 1/10

Darstellung:

Kreisdiagramm:

Schaubild:


Z. B.:
6/20 der Gummibärchen sind rot

2/20 der Gummibärchen sind gelb

5/20 der Gummibärchen sind grün


Zahlenstrahl:

Brüche können am Zahlenstrahl dargestellt werden. Echte Brüche liegen zwischen 0 und 1. Es gibt unendlich viele Brüche zwischen 0 und 1. Der Zahlenstrahl im Beispiel ist von 0 bis 1 in 6 gleiche Teile eingeteilt. Jede Teilstrecke ist 1/6. Beim dritten Teilstrich liegt also der Bruch A = 3/6

Beispiel:

Die kleinere Bruchzahl liegt auf dem Zahlenstrahl immer links von einer größeren.

Begriffe:

Echter Bruch
- Der Zähler ist kleiner als der Nenner.


Unechter Bruch - Der Zähler ist größer als der Nenner.

Unechte Brüche kann man in gemische Zahlen umwandeln und umgekehrt.

Uneigentlicher Bruch -  Der Zähler ist ein Vielfaches des Nenners.

Es handelt sich eigentlich um natürliche Zahlen.

Gemischte Zahl - Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch.
Zwischen ihnen muss man sich ein + denken!

Gemische Zahlen kann man in unechte Brüche umwandeln und umgekehrt:


Brüche mit dem Zähler 1 heißen Stammbrüche:

Brüche mit gleichen Nennern heißen gleichnamige Brüche:
 

Brüche mit ungleichen Nennern heißen ungleichnamige Brüche:


Werden Zähler und Nenner vertauscht, bildet man den Kehrwert eines Bruches:


 

 

Bruchteile

 

 

Der Nenner eines Bruches gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze eingeteilt ist.
Der Zähler gibt an, wie viele Teile genommen werden (zählt die Teile).

Beispiel 1:

3 Äpfel von 18 Äpfeln sind verdorben.
D. h. der Äpfel sind verdorben.

Beispiel 2:

4 Kästchen von 21 Kästchen sind rot gefärbt.
D. h. der Kästchen sind rot.


Bruchteile von Größen:

Beispiel 1:

von 32 cm = 12 cm.

Rechnung in zwei Schritten:

1. Dividiere durch den Nenner:
32 cm : 8 = 4 cm

2. Multipliziere mit dem Zähler:
4 cm · 3 = 12 cm

Beispiel 2:

kg = 750 g

Rechnung:
von 1 kg = von 1000g = 750 g

1000 g : 4 = 250 g
250 g · 3 = 750 g

Das Ganze berechnen:

Um das Ganze zu berechnen musst du die Umkehrrechnungen durchführen:

Beispiel:

von x € = 90 €

Rechnung:

1. Dividiere durch den Zähler:
    90 € : 3 = 30 €

2. Multipliziere mit dem Nenner:
    30 € · 4 = 120 €

Das Ganze beträgt 120 €

Probe:
von 120 € = 90 €

 

Kürzen und Erweitern

 

 

Kürzen:

Man kürzt einen Bruch, indem man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (die Kürzungszahl) dividiert.

Beim vollständigen Kürzen teilt man durch den ggT von Zähler und Nenner!
Oder man kürzt schrittweise so lange, bis Zähler und Nenner teilerfremd sind (ggT(Z,N)= 1).

 

Erweitern

Man erweitert einen Bruch, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl, der Erweiterungszahl, multipliziert.

Hauptnenner:
Man erweitert zwei oder mehrere Brüche, so dass sie den kleinsten gemeinsamen Nenner haben (kgV der Nenner ist der Hauptnenner).

 

Rechnen

 

 

Addieren (subtrahieren) von Brüchen:

Gleichnamige Brüche werden addiert (subtrahiert), indem man ihre Zähler addiert (subtrahiert). Das Ergebnis wird gekürzt und wenn möglich als gemischte Zahl geschrieben.

Ungleichnamige Brüche:

1. Bestimme den Hauptnenner (kgV).
2. Erweitere beide Brüche auf den gemeinsamen     Nenner (Hauptnenner).
3. Addiere (subtrahiere) die Zähler der     erweiterten Brüche.
4. Behalte den gemeinsamen Hauptnenner bei.
5. Kürze das Ergebnis so weit wie möglich.

Tipp:

So findest du den Hauptnenner (kgV):

1. Bestimme den ggT der beiden Nenner.
2. Dividiere einen Nenner durch den ggT.
3. Multipliziere das Ergebnis mit dem anderen     Nenner.

oder

1. Multipliziere die beiden Nenner.
2. Dividiere das Produkt durch den ggT der     beiden Nenner.

Multiplikation mit einer natürlichen Zahl:

Man multipliziert einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, indem man den Zähler mit der Zahl multipliziert.
Der Nenner (unten!) bleibt unverändert.

Multiplikation mit einem Bruch:

Man multipliziert einen Bruch mit einem Bruch, indem man den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multipliziert.

Division durch eine natürliche Zahl:

Man dividiert einen Bruch durch eine natürliche Zahl, indem man den Nenner mit der natürlichen Zahl multipliziert. Der Zähler bleibt unverändert.


Wenn die Division ohne Rest möglich ist, kann der Zähler durch die natürliche Zahl geteilt werden.

Division durch einen Bruch:

Man dividiert einen Bruch durch einen Bruch, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.

 

Dezimalbrüche

 

 
Brüche deren Nenner eine 10er-Potenz ist können als Dezimalbrüche (Kommazahlen) geschrieben werden:



Die Dezimalstellentafel wird nach rechts erweitert. Zwischen Einern und Zehntel wird ein Komma gesetzt. Die Ziffern rechts vom Komma heißen Dezimale. Die erste Dezimale rechts vom Komma heißt Zehntel, die zweite Dezimale Hundertstel, die dritte Dezimale Tausendstel usw.
2,173= 2 E + 1/10 + 7/100 + 3/1000
 

Umwandeln von Brüchen:

Jeder Bruch kann in einen Dezimalbruch verwandelt werden:

Durch Erweitern oder Kürzen:

1/4 = 25/100 = 0,25
3/8 = 375/1000 = 0,375
9/12 = 3/4 = 75/100 = 0,75
usw.

Durch Dividieren:

Der Bruchstrich hat die Bedeutung eines Divisionszeichens und man dividiert den Zähler durch den Nenner:



Prozentschreibweise:

Prozent bedeutet pro Hundert.

1 % = 1/100 = 0,01
17 % = 17/100 = 0,17
78 % = 78/100 = 0,78
0,5 % = 0,5/100 = 5/1000 = 0,005

umgekehrt:

0,8 = 8/10 = 80/100 = 80 %
0,06 = 6/100 = 6 %
0,003 = 3/1000 = 0,3/100 = 0,3 %
 


Rechnen mit Dezimalbrüchen

 

Addieren und Subtrahieren:

Dezimalbrüche werden wie natürliche Zahlen addiert (subtrahiert). Dabei muss Komma unter Komma stehen.

Beispiel:

     572,098
   +    3,501
   +    0,43
------------
     576,029
 

Multiplizieren mit 10er-Potenzen:

Man multipliziert Dezimalbrüche mit
10, 100, 1000, ..., indem man das Komma um
 1,    2,     3, ... Stellen nach rechts verschiebt

Beispiel:

3,0786 · 100 = 307,86
5,67 ·  1000 = 5,6700 · 1000 = 5670,0 = 5670

Dividieren durch 10er-Potenzen:

Man dividiert Dezimalbrüche durch 
10, 100, 1000, ..., indem man das Komma um
 1,    2,     3, ... Stellen nach links verschiebt

Beispiel:

3075,6 : 100 = 30,756
9,67 :  1000 = 0009,67 : 1000 = 0,00967
 

Multiplizieren:

Man multipliziert Dezimalbrüche zunächst wie natürliche Zahlen. Im Ergebnis trennt man mit dem Komma dann so viele Dezimalen ab, wie die Faktoren zusammen haben.

Beispiel:

0,007 · 0,03 = 0,00021
(7/1000 · 3/100 = 21/100000)

Dividieren durch eine natürliche Zahl:

Man dividiert einen Dezimalbruch durch eine natürliche Zahl, indem man die Zahlen wie natürliche Zahlen dividiert. Sobald während der Rechnung das Komma überschritten wird, setzt man es auch im Ergebnis.

Beispiel:

14,94 : 6 = 2,49
Überprüfe dein Ergebnis zur Sicherheit mit einer Überschlagsrechnung!

Dividieren durch einen Dezimalbruch:

Man dividiert einen Dezimalbruch durch einen Dezimalbruch, indem man das Komma in beiden Zahlen so viele Stellen nach rechts verschiebt (erweitert), dass man durch eine natürliche Zahl dividiert.,

Beispiel:

5,512 : 1,04 =
551,2 : 104 =
(Erweitert mit 100)

 

 

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